Ciencias tcnicas y aplicadas

Artculo de revisin

 

Ecuacin de la Onda: Apuntes y animacin con MATLAB

 

Wave Equation: Notes and Animation with MATLAB

 

Equao de onda: notas e animao com MATLAB

David Elias Dger-Lpez I 
daviddagerlopez@hotmail.com
https://orcid.org/0000-0001-6663-6149

,Vctor Felipe Baidal-Alvarado III
vbaidal@hotmail.com
https://orcid.org/0000-0001-9005-6873

,Juan Carlos Granizo-Arias V
jcgranizo35@hotmail.es
https://orcid.org/0000-0003-4272-0244
Janina Hellen Gutirrez-Molina II
janina4_20-7@hotmail.com
 https://orcid.org/0000-0002-9172-9002

,Holger Luis Coronel-Montec IV
coronel_montece78@hotmail.com
https://orcid.org/0000-0002-5460-864X

,Milton Fabin Peaherrera-Larenas VI
naibaf1979@gmail.com
https://orcid.org/0000-0001-8603-7522
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Correspondencia: daviddagerlopez@hotmail.com

 

 

*Recibido: 20 de diciembre de 2020 *Aceptado: 12 de enero de 2021 * Publicado: 08 de febrero del 2021

 

 

        I.            Ingeniero Industrial, Prevencin en Riesgos Laborales, Estudiante de Maestra de Matemticas, Universidad Estatal de Milagro, Milagro, Ecuador.

     II.            Ingeniera en Sistemas Computacionales, Formacin de Formadores, Estudiante de Maestra de Matemticas, Universidad Estatal de Milagro, Milagro, Ecuador.

   III.            Ingeniero en Sistemas Computacionales, Estudiante de maestra de Matemticas, Universidad Estatal de Milagro, Milagro, Ecuador.

   IV.            Diploma Superior en Docencia Universitaria, Profesor de Segunda Enseanza con Especializacin en Fisico-Matematicas, Licenciado en Ciencias de la Educacin Especializacin Fsico Matemtica, Estudiante de maestra de Matemticas, Universidad Estatal de Milagro, Milagro, Ecuador.

     V.            Licenciado en Ciencias de la Educacin Mencin Fsico Matemticas Ingeniero Agrnomo, Estudiante de maestra de Matemticas, Universidad Estatal de Milagro, Milagro, Ecuador.

  VI.            Diploma Superior en Currculo por Competencias, Magister en Administracin y Direccin de Empresas, Ingeniero en Sistemas Computacionales, Analista de Sistemas, Administracin de Empresas, Formacin de Formadores, Facultad de Administracin, Finanzas e Informtica, Universidad Tcnica de Babahoyo, Babahoyo, Ecuador.

Resumen

Este artculo describe la deduccin de la ecuacin de onda bajo condiciones iniciales utilizando Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden. Se resolvi el modelo matemtico hasta llegar a las grficas utilizando MATLAB, la metodologa utilizada es la bibliogrfica. Cabe mencionar que esta ecuacin es un intervalo finito de tiempo, es decir que en sus extremos acotados, el cual se parece al movimiento de una cuerda.

Palabras clave: Ecuacin de onda; modelo matemtico; derivadas parciales.

 

Abstract

This article describes the derivation of the wave equation under initial conditions using second order partial differential equations. The mathematical model was solved until reaching the graphs using MATLAB, the methodology used is the bibliographic one. It should be mentioned that this equation is a finite interval of time, that is, at its bounded ends, which resembles the movement of a rope

Keywords: Wave equation; mathematical model; partial derivatives.

 

Resumo

Este artigo descreve a derivao da equao de onda sob condies iniciais usando equaes diferenciais parciais de segunda ordem. O modelo matemtico foi resolvido at chegar aos grficos utilizando o MATLAB, a metodologia utilizada a bibliogrfica. Deve ser mencionado que esta equao um intervalo finito de tempo, ou seja, em suas extremidades delimitadas, que se assemelha ao movimento de uma corda

Palavras-chave: Equao de onda; modelo matemtico; derivadas parciais.

 

Introduccin

En primer lugar la ecuacin de Erwin Schrdinger define la funcin de onda como una funcin escalar y no como una vectorial. El movimiento ondulatorio se propaga la energa de un lugar a otro sin transferencia de materia, tambin los movimientos ondulatorios tienen su clasificacin, la cual es la siguiente:

 

Ecuacin de la Onda. La ecuacin de la Onda o tambin conocida como ecuacin de la Cuerda Vibrante, la ecuacin de onda es una EDP lineal de orden dos, describe la propagacin de ondas. Por ejemplo: ondas sonoras, de luz y del agua.

En las matemticas las ondas son la modelacin de propagaciones que esta se obtienen mediante ecuaciones que modelan los fenmenos a presentar, pueden ser ondas acsticas, electromagnticas entre otras cada una con su ecuacin diferencial [1]

La ecuacin de la onda tiene como caracterstica ser una ecuacin diferencial de segundo orden y que contiene derivas parciales, tiene variables espaciales que van con respecto al tiempo y estas a su vez ayudan a predecir los posibles valores de las perturbaciones que causa la onda al propagarse [2]

 

Variedades de Ecuaciones de ondas

Para describir el comportamiento de estas ondas, se puede asumir que tendrn el siguiente comportamiento:

         La onda en una cuerda tensada

 

         Onda electromagnticamente plana

Clasificacin en funcin de la direccin de la propagacin

Ondas longitudinales: Su vibracin es paralela a la direccin de propagacin de la propia onda

Ondas transversales: Su vibracin es perpendicular a la direccin de la onda

 

Modelamiento matemtico

Los problemas en ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que hacen escena en los fenmenos fsicos, se suelen clasificar en tres tipos principales: problemas parablicos, elpticos e hiperblicos, siendo estos ltimos utilizados para estudiar fenmenos oscilatorios, vibraciones de cuerdas, membranas y oscilaciones electromagnticas, cuya principal caracterstica es la velocidad infinita de propagacin de la perturbacin, la cual corresponde a nuestro estudio. [1]

 

Con condiciones iniciales y de contorno:

 

Cambiamos la nomenclatura

Elptica // Aplicamos el discriminante para saber que tipo de Ecuacin es

Sacamos la primera derivada con respecto a x

sacamos la primera derivada conrespecto a t

sacamos la primera derivada con respecto a x

sacamos la primera derivada con respecto a t

Reemplazamos los valores segun nos indica la ecuacion original

Independientes tenemos que igualar a una constante que puede tomar el valor de tres casos segn nos d como resultado en el discriminante.

Igualamos cada miembro de la ecuacin a la constante

Despejamos cada una de las funciones una en cada extremo y segn los resultamos aplicamos el mtodo y llegamos a la forma de una ecuacin diferencial ordinaria con coeficientes constantes.

 

Aqu evaluamos las condiciones de contorno para encontrar los coeficientes

u(L,t)=0 F(L)=0

 

Reemplazamos el valor de la constante encontrada K

Reemplazamos las dos funciones encontradas en la multiplicacin de funciones F(x).G(t)

Reemplazamos la condicin inicial para encontrar los dems coeficientes

Derivamos con respecto al tiempo para evaluar la siguiente condicin inicial en la primera derivada

Evaluamos la condicin inicial en la primera derivada con respecto al tiempo

Aplicamos el teorema de sper posicin en la cual consiste en la suma de las respuestas dando as una sumatoria de funciones

Serie de Fourier

Para encontrar los valores de an y bn se aplica las siguientes integrales

 

Resultados

Luego de deducir por ecuaciones diferenciales parciales tenemos los siguientes resultados

[2]

Para la visualizacin de esta ecuacin usamos el siguiente cdigo MATLAB:

 

Asumiendo que t=0

clc

clear all

close all

x=0:0.01:2;

t=0;

set(gca,'nextplot','replacechildren');

axis([0 2 -1 1.5]);

u=sin(pi.*x/2).*cos(pi.*t/2)+0.5.*sin(3.*pi.*x/2).*cos(3.*pi.*t/2)+1/4.*sin(5.*pi.*x/2).*cos(5.*pi.*t/2);

for i=1:length(t)

plot(x,u);

grid on;

%hold on;

%pause(0.5);

%clf;

drawnow;

end


Figura 1

 

Asumiendo que t=0.25

 

clc

clear all

close all

x=0:0.01:2;

t=0.25;

set(gca,'nextplot','replacechildren');

axis([0 2 -1 1.5]);

u=sin(pi.*x/2).*cos(pi.*t/2)+0.5.*sin(3.*pi.*x/2).*cos(3.*pi.*t/2)+1/4.*sin(5.*pi.*x/2).*cos(5.*pi.*t/2);

for i=1:length(t)

plot(x,u);

grid on;

%hold on;

%pause(0.5);

%clf;

drawnow;

end


Figura 2

 

Asumiendo que t=0.50

clc

clear all

close all

x=0:0.01:2;

t=0.50;

set(gca,'nextplot','replacechildren');

axis([0 2 -1 1.5]);

u=sin(pi.*x/2).*cos(pi.*t/2)+0.5.*sin(3.*pi.*x/2).*cos(3.*pi.*t/2)+1/4.*sin(5.*pi.*x/2).*cos(5.*pi.*t/2);

for i=1:length(t)

plot(x,u);

grid on;

%hold on;

%pause(0.5);

%clf;

drawnow;


Figura 3

 

Asumiendo que t=0.75

clc

clear all

close all

x=0:0.01:2;

t=0.75;

set(gca,'nextplot','replacechildren');

axis([0 2 -1 1.5]);

u=sin(pi.*x/2).*cos(pi.*t/2)+0.5.*sin(3.*pi.*x/2).*cos(3.*pi.*t/2)+1/4.*sin(5.*pi.*x/2).*cos(5.*pi.*t/2);

for i=1:length(t)

plot(x,u);

grid on;

%hold on;

%pause(0.5);

%clf;

drawnow;

end

end


Figura 4

 

Conclusiones

Observamos que en la grficas para varios intervalos de tiempo la onda oscila con un movimiento de perturbacin llegando as en milsimas de segundo a cubrir movimiento total llegando a una velocidad de 0 movimiento.

En caso de que tiempo se extienda observamos que ya no existe movimiento segn la descripcin en su modelo matemtico a travs las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Cabe mencionar que esta ecuacin es un intervalo finito de tiempo, es decir que en sus extremos acotados, el cual se parece al movimiento de una cuerda.

El objetivo principal de este artculo fue cubierto ya que se dedujo la ecuacin de la onda y se pudo graficar utilizando MATLAB

Referencias

1.      G. L. WELZ, Las Matemticas en el Movimiento de las Ondas: Funciones Trigonomtricas, 20006. [En lnea]. Available: https://www.visionlearning.com/es/library/Matem%C3%A1ticas-en-la-Ciencia/62/Las-Matem%C3%A1ticas-en-el-Movimiento-de-las-Ondas/131.

2.      D. Zill, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Madrid: International Thomson, 1997.

3.      D. C. E. &. R. J. Requena, Modelacin de la onda del rayo a travs de las ecuaciones del telegrafista., Universidad, Ciencia y Tecnologa, vol. 17, n 67, pp. 83-91, 2013.

 

 

2020 por los autores. Este artculo es de acceso abierto y distribuido segn los trminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribucin-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).

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DOI: https://doi.org/10.23857/pocaip