Ciencias tcnicas y aplicadas

Artculo de investigacin

Superficies ptimas de diferentes formas geomtricas para desmaterializar la produccin

 

Optimal surfaces of different geometric shapes to dematerialize production

 

Superfcies timas de diferentes formas geomtricas para desmaterializar a produo

Fredy Rodrigo Barahona-Avecilla I
fbarahona@unach.edu.ec
http://orcid.org/0000-0002-9969-5353
,Celin Abad Padilla-Padilla III    
c_padilla@espoch.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-2241-5421
Olga Beatriz Barrera-Crdenas II    
obarrera@espoch.edu.ec
http://orcid.org/0000-0002-9708-5105
,Luis Fernando Buenao-Moyano IV
lfbuenanio@espoch.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-2194-4102
 

 

 

 

 

 

 


Correspondencia: [email protected]

 

 

*Recibido: 22 de mayo del 2021 *Aceptado: 20 de junio del 2021 * Publicado: 05 de julio del 2021

 

 

       I.            Magister en Matemtica Bsica, Universidad Nacional de Chimborazo, Facultad de Ingeniera, Riobamba, Ecuador.

    II.            Magster en Matemtica Bsica, Magister en Docencia Universitaria e Investigacin Educativa, Especialista en Computacin Aplicada al Ejercicio Docente, Doctora en Matemticas, Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Facultad de Mecnica, Carrera de Ingeniera Automotriz, Riobamba, Ecuador.

III.            Magster en Diseo Mecnico Mencin en Fabricacin de Autopartes de Vehculos, Mster en Ingeniera de Vehculos Hbridos y Elctricos, Ingeniero Automotriz, Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Facultad de Mecnica, Carrera de Ingeniera Automotriz, Riobamba, Ecuador.

IV.            Magster en Gestin del Mantenimiento Industrial, Ingeniero Automotriz, Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Facultad de Mecnica, Carrera de Ingeniera Automotriz, Riobamba, Ecuador.

 

Resumen

En este trabajo, con la ayuda de las ecuaciones pertinentes y el software matemtico se realiz una comparacin de la medida de superficie de los cuerpos geomtricos para un determinado volumen, entre estos estn los poliedros, el cilindro y los prismas de base poligonal regular, el cono y las pirmides de base poligonal regular y algunas superficies de revolucin como el paraboloide y el hiperboloide, con respecto a la ms ptima es decir la de menor medida de superficie la esfera. Como resultado se registr que el Hiperboloide de una hoja es el de mayor medida de superficie. Adicionalmente se encontr que el cilindro y los prismas, as como el cono y las pirmides tienen proporcionalidades entre el radio de la base del cilindro y la medida de la arista de una base poligonal de n lados o el radio de la base del cono y la medida de la arista de la base poligonal de n lados que permitieron construir la tabla 3 y tabla 4. Este resultado permite dentro de la ingeniera proyectar de una manera rpida cuerpos geomtricos ptimos, de manera que se pueda disear elementos respetando el ambiente, es decir utilizando solo los recursos necesarios y evitando reciclar mayor cantidad de materiales.

Palabras clave: Volumen; superficie; optimizacin; recursos; produccin.

Abstract

In this work, with the help of the pertinent equations and mathematical software, a comparison of the surface measurement of the geometric bodies for a given volume was made, among these are the polyhedra, the cylinder and the regular polygonal-based prisms, the cone and pyramids with a regular polygonal base and some surfaces of revolution such as the paraboloid and the hyperboloid, with respect to the most optimal, that is, the sphere with the smallest surface area. As a result, it was recorded that the Hyperboloid of a leaf is the one with the largest surface area. Additionally, it was found that the cylinder and prisms, as well as the cone and pyramids have proportionalities between the radius of the cylinder base and the edge measure of a polygonal base with n sides or the radius of the cone base and the Measurement of the edge of the n-sided polygonal base that allowed the construction of table 3 and table 4. This result allows within engineering to quickly project optimal geometric bodies, so that elements can be designed respecting the environment, that is, using only the necessary resources and avoiding recycling more materials.

Keywords: Volume; surface; optimization; resources; Production.

 

Resumo

Neste trabalho, com o auxlio das equaes pertinentes e de softwares matemticos, foi feita uma comparao das medidas de superfcie dos corpos geomtricos para um determinado volume, entre estes esto os poliedros, o cilindro e os prismas regulares de base poligonal, o cone e pirmides com base poligonal regular e algumas superfcies de revoluo como o parabolide e o hiperbolide, em relao ao mais timo, ou seja, a esfera com a menor rea de superfcie. Como resultado, foi registrado que o hiperbolide de uma folha aquele com a maior rea de superfcie. Adicionalmente, verificou-se que o cilindro e prismas, assim como o cone e as pirmides possuem proporcionalidades entre o raio da base do cilindro e a medida da borda de uma base poligonal com n lados ou o raio da base do cone e a Medida do borda da base poligonal de n lados que permitiu a construo da tabela 3 e da tabela 4. Este resultado permite dentro da engenharia projetar rapidamente corpos geomtricos timos, de forma que os elementos possam ser projetados respeitando o meio ambiente, ou seja, utilizando apenas os recursos necessrios e evitando reciclar mais materiais.

Palavras-chave: Volume; superfcie; otimizao; meios; Produo.

 

Introduccin

Los insumos requeridos para la industrializacin de bienes segn (Filippone et all., 2005) tienen un rendimiento muy bajo, enfrentar la contaminacin para un desarrollo sostenible debe proponer la desmaterializacin de la produccin; es decir: maximizar la produccin con menos materiales.

Ecoembes (2005, como se cit Filippone et all., 2005) el destino de los envases y embalajes luego de cumplir su funcin el destino es la basura y el vertedero representando un problema ecolgico por los volmenes desechos. En Fiksel (1996, como se cit Filippone et all., 2005) el tratamiento de residuos puede ser minimizado desde el punto de vista ambiental con la optimizacin del uso de materiales.

Aunque la arquitectura haya cambiado a lo largo de la historia y estilos visiblemente diferentes se hayan sucedido uno tras otro, en realidad, desde los primeros egipcios hasta nuestros das, la arquitectura se ha apoyado en una geometra simple que hace uso de lneas, figuras bidimensionales y poliedros clsicos combinados con esferas, elipses y crculos. Esta arquitectura era siempre fruto de planos: unos planos producidos gracias a instrumentos bsicos como el comps y la escuadra, y seguidos al pie de la letra por los albailes de todos los tiempos (Roe, 2012, p.8).

Existen arquitectos que se refieren a la forma, es el caso de Mndez (2002) la geometra de las formas arquitectnicas y la mecnica de las estructuras van juntas. El diseo formal debe intuir si la forma que se esboza resistir, su visin de cmo se deformar. La arquitectura es piel y esqueleto, es optimizar los materiales, sostenibilidad, servicio social, es todas juntas como un sistema tomando en cuenta la opinin oportuna y autorizada, del trabajo del ingeniero estructural (p. 85).

Gaud, Candela y Mther utilizaron el paraboloide hiperblico en sus diseos, este ltimo logr cubrir grandes claros libres de apoyos por medio de sus delgados cascarones de concreto, con un mnimo de espesor y dndoles la resistencia adecuada gracias a su forma, utilizando superficies de paraboloides hiperblicos. Mther decide tambin optar por un cascarn cuya forma deriva de tres cuartos de una esfera, variando as la forma tradicional de media esfera (Oliva, 2007, p.289).

El conocimiento de los cuerpos geomtricos pueden constituirse en herramientas para el estudio de la etnomatemtica y la etnogeometra como por ejemplo Hoz, Trujillo y Tun (2017) han aplicado en el de vivienda tradicional de la comunidad Arhuaca de la sierra nevada de Santa Marta en la que en su proceso de construccin tradicional se basa en patrones y figuras geomtricas analizando sus matemticas dentro de su propio contexto sociocultural, la base cuadrada es utilizado para maximizar el rea de la vivienda. Tambin se pueden identificar el paralelismo y la perpendicularidad del proceso al aplicar el teorema de Thales. Se aplican rea y volumen, siendo el volumen de la vivienda el de un paraleleppedo.

Raynaud (2008), el reemplazo en el accionar arquitectnico no implica nicamente tomar un objeto del entorno y sustituirlo por otro probablemente optimizado, en el fondo y materialmente es semejante; supone adems el reto de crear un elemento que imaginariamente considere contenidos conceptuales de bienestar, prosperidad, perfeccionamiento, progreso, comunes a los humanos en el tiempo y que es imposible representarlo de una vez y para siempre.

Mediante sistemas informticos de acceso libre cuyo uso se est potenciando en los ltimos aos en todos los niveles, ellos se pueden representar de forma dinmica e interactiva objetos geomtricos basados en construcciones de regla y comps, pudindose modificar sus parmetros en cualquier momento, con la inmediata reconstruccin de todos y cada uno de los elementos asociados a los mismos en la pantalla de trabajo en cuestin (Falcn, 2012, p.4).

Al relacionar el diseo con las matemticas Senz (2015) dice que el cuerpo que mejor relacin tiene entre el volumen y superficie es la esfera, entonces es importante plantear la siguiente pregunta: Cmo vara la medida de superficie de los cuerpos geomtricos?

 

Metodologa

Se realiz un anlisis comparativo de la medida de superficie de los cuerpos geomtricos mediante la utilizacin de software matemtico. Los cuerpos geomtricos son: la esfera y los poliedros; el cilindro y los prismas de base poligonal regular; el cono y las pirmides tambin de base poligonal regular.

Se tom como estndar de comparacin la esfera de radio re, estableciendo las frmulas del volumen Ve y superficie Se, luego se desarroll las frmulas de volumen, aristas y superficie de los poliedros de 20 caras (icosaedro), 12 caras (dodecaedro), 8 caras (octaedro), 3 caras (tetraedro), en funcin del radio de la esfera re para facilitar la comparacin para un mismo volumen Ve.

El mismo proceso se realiz para los prismas (se incluye el cilindro) y pirmides (se incluye el cono), desarrollando las frmulas del lado del polgono regular de la base y la altura en funcin de re y superficie. Se realiz tambin el anlisis con algunas superficies de revolucin como el paraboloide y el hiperboloide.

La comparacin se realiz respecto a la superficie de los cuerpos geomtricos, por lo que es indispensable optimizar las dimensiones de los prismas y pirmides respecto de la superficie que tiene que ser mnima, se utiliza el procedimiento del clculo diferencial, en el que se establece la frmula de la superficie, se la deriva respecto a la altura, se determina el punto crtico, en este caso el mnimo.

Posteriormente se realiz una comparacin total de los cuatro grupos para ver cul es el ptimo respecto a la superficie.

Luego con la ayuda del software matemtico se realiz las grficas 3D de cuerpos geomtricos optimizados con una medida mnima de superficie y volumen igual.

 

 

 

 

Resultados y discusin

Volumen y superficie de la esfera y Poliedros regulares

La esfera es el estndar para comparar la medida de la superficie de todos los cuerpos geomtricos considerados en este estudio, se presenta la esfera y poliedros, se expone la frmula del volumen correspondiente y se forma la ecuacin con el volumen de la esfera Ve, se halla el valor de la arista del poliedro en funcin del radio de la esfera re y al final se determina la superficie en funcin de la arista. Este proceso se repite para todos los poliedros obtenindose los siguientes resultados:

Esfera

El volumen de la esfera se calcula obteniendo un slido de revolucin a partir de una circunferencia con centro en el origen del plano cartesiano (x,y)

Si re es el radio de la esfera, Ve es el volumen, Se es la superficie de la esfera, entonces:

(1)

(2)

 

Icosaedro

Si ai es la arista del icosaedro y Vi es el volumen, Si es la superficie del icosaedro, entonces:

(3)

(4)

(5)

(6)

 

Dodecaedro

Si ad es la arista del dodecaedro y Vd es el volumen, Sd es la superficie del dodecaedro, entonces:

(7)

(8)

(9)

(10)

 

Octaedro

Si es la arista del octaedro y es el volumen, es la superficie del octaedro, entonces:

(11)

(12)

(13)

14)

 

Hexaedro

Si es la arista del Hexaedro y es el volumen, es la superficie del Hexaedro, entonces:

(15)

(16)

(17)

(18)

 

Tetraedro

Si es la arista del Tetraedro y es el volumen, es la superficie del Tetraedro, entonces:

(19)

(20)

(21)

(22)

 

Cilindro circular recto y prismas de base poligonal regular

La esfera contina representando el estndar para comparar la medida de la superficie del cilindro y prismas, se expone la frmula del volumen correspondiente y se forma la ecuacin con el volumen de la esfera , se halla el valor del lado del polgono de la base en funcin del radio de la esfera y al final se determina la superficie en funcin de la altura del prisma. Existe infinita cantidad de prismas de diferente medida del lado y altura, por lo que se obtiene las dimensiones ptimas respecto a un mnimo de superficie. Este proceso se repite para el cilindro y todos los prismas obtenindose los siguientes resultados:

 

Cilindro

Si es la altura del cilindro, es el radio de la base del cilindro y el volumen, tomando como referencia el sistema de coordenadas ( x, y ) donde , entonces:

= (23)

Para poder comparar con las superficies de los cuerpos geomtricos anteriores, debemos hallar la superficie ptima del cilindro para un volumen determinado.

(24)

Consideremos que el radio de la base es r_c, la altura es h_c, entonces la superficie del cilindro es:

(25)

De (24) y (25) se obtiene:

(26)

Ahora, calculamos la superficie ptima del cilindro. Derivando respecto a r_c para encontrar el valor mnimo, se tiene que:

(27)

(28)

(29)

(30)

Prisma de base de n

Sea el lado del prisma de n lados, la altura, el volumen, la superficie, entonces:

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

 

Cono y pirmides de base poligonal regular

Contina la esfera como el estndar para comparar la medida de la superficie del cono y pirmides, se expone la frmula del volumen correspondiente y se forma la ecuacin con el volumen de la esfera se halla el valor del lado del polgono de la base en funcin del radio de la esfera y al final se determina la superficie en funcin de la altura de la pirmide. Existe infinita cantidad de pirmides de diferente medida del lado y altura, por lo que se obtiene las dimensiones ptimas respecto a un mnimo de superficie. Este proceso se repite para el cono y todas las pirmides obtenindose los siguientes resultados:

 

Cono

Si es el volumen del cono, es el radio de la base, es la altura, la funcin es la generatriz que parte desde el origen de coordenadas y la superficie; entonces:

(36)

(37)

(38)

Ahora, calculamos la superficie ptima del cono. Derivando respecto a h_co para encontrar el valor mnimo, se tiene que:

(39)

(40)

(41)

 

Pirmide de base poligonal de n lados

Sea la longitud del lado de la base de n lados, la altura, el volumen y la superficie ; entonces:

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

 

Superficies de revolucin

Paraboloide de revolucin

Consideremos que es la altura del paraboloide, el parmetro de la parbola, es el volumen y la superficie

La ecuacin de la parbola en el sistema cartesiano

es (47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

 

Hiperboloides de revolucin

La ecuacin de la hiprbola es

(53)

(54)

la altura, el volumen , la superficie ; entonces:

(55)

Luego,

(56)

(57)

(58)

(59)

 

Introduciendo las ecuaciones en el software matemtico se obtiene:


Figura 1: Grficos de los cuerpos geomtricos , realizado en software matemtico

 

Tabla 1: Comparacin de la medida de la superficie de la esfera y las formas geomtricas

Cuerpo geomtrico

Nmero de lados

Superficie

Porcentaje respecto del de menor superficie

Esfera

Infinito

5026,54824574366

100

Poliedro

(Icosaedro) (20)

5351,22248933034

106,4591888

Poliedro

Dodecaedro (12)

5520,98709715634

109,8365484

Cilindro

infinito

5753,96136778424

114,4714243

Prisma

1000

5753,96767772695

114,4715498

Superficie cudrica de revolucin

Hiperboloide de una hoja b=1000, Hhp=34.942

5754,35169129796

114,4791895

Prisma

15

5782,36598210319

115,0365161

Prisma

10

5818,91924800208

115,7637202

Prisma

9

5834,71673509551

116,0780012

Prisma

8

5857,17794008396

116,5248527

Prisma

7

5890,75364508829

117,1928201

Prisma

6

5944,47983924021

118,2616688

Poliedro

Octaedro (8)

5944,47983924021

118,2616688

Prisma

5

6039,40284396463

120,150102

Prisma

4

6236,44334355320

124,0700982

Poliedro

Exaedro (6)

6236,44334355320

124,0700982

Cono

Infinito

6333,05394312459

125,992105

Pirmide

1000

6333,06088811518

125,9922432

Pirmide

15

6364,31726646262

126,614069

Pirmide

10

6404,54934136517

127,4144607

Pirmide

9

6421,93672573111

127,7603718

Pirmide

8

6446,65848066257

128,2521955

Pirmide

7

6483,61332574746

128,9873887

Pirmide

6

6542,74665389733

130,1638089

Pirmide

5

6647,22293917950

132,2422986

Superficie cudrica de revolucin

Hiperboloide de una hoja b=20, Hhp=34.942

6728,88352792433

133,8668844

Prisma

3

6804,73073654941

135,3758166

Pirmide

4

6864,09407075528

136,5568127

Pirmide

3

7489,57528013443

149,0003659

Poliedro

Tetraedro (3)

7489,57528013443

149,0003659

Superficie cudrica de revolucin

Hiperboloide de una hoja b=20, Hhp=100

7928,79219375057

157,7383088

Superficie cudrica de revolucin

Paraboloide

8318,04225769369

165,4821928

Superficie cudrica de revolucin

Hiperboloide de una hoja b=10, Hhp=34.942

8678,69396961050

172,6571306

Superficie cudrica de revolucin

Hiperboloide de una hoja b=20, Hhp=10

9080,67326694503

180,6542546

Superficie cudrica de revolucin

Hiperboloide de una hoja b=1, Hhp=34.942

12330,26263244090

245,3027809

 

 

Tabla 2: Relaciones ptimas de la medida de la superficie del cilindro y los prismas de base poligonal regular

n lados de la base

Relacin de superficies

Relacin ptima

Proporcionalidad

3

1.182616688156494

1.732050807568877

2.929183775123045

4

1.083852140278578

1

1.845270148644028

5

1.049607819367461

0.72654252800536

1.384407613203961

6

1.033110836044653

0.577350269189626

1.117692795479829

7

1.023773582851969

0.481574618827085

0.940783444465337

8

1.017938349895363

0.414213562377101

0.813828386398859

9

1.014034742701508

0.36397023426708

0.717865412178749

10

1.011289245107124

0.324919696233265

0.642585091861746

15

1.004936531982642

0.212556561672756

0.42302484765198

1000

1.000001096625838

0.003141602989074

0.006283199087806

(Cilindro)

1

0.5

0

 

Tabla 3: Relaciones ptimas de la medida de la superficie del cono y las pirmides de base poligonal regular

n lados de la base

Relacin de superficies

Relacin ptima

Proporcionalidad

3

1.182616688156494

1.224744871391589

2.929183775123046

4

1.083852140278578

0.707106781186547

1.845270148644028

5

1.049607819367461

0.513743148373008

1.384407613203962

6

1.033110836044653

0.408248290463848

1.117692795479815

7

1.02377358285197

0.34052467860613

0.940783444452602

8

1.017938349895363

0.292893218813323

0.813828386396115

9

1.014034742701508

0.25736582080017

0.25736582080017

10

1.011289245107124

0.229752920547488

0.642585091861722

15

1.004936531982642

0.150300186143815

0.423024847651335

1000

1.000001096625838

0.002221448777366

0.006283199087802

Infinito (Cono)

1

0.353553390593274

0

 

Se puede dimensionar prismas y pirmides ptimos respecto a la superficie a partir del cilindro y cono respectivamente, por ejemplo, de la tabla 2 escogemos el radio del cilindro r_c de acuerdo a una necesidad de proyeccin geomtrica cualquiera, luego, r_c/hc=0.5, esto indica r_c=0.5 h_c, entonces para cualquier cilindro ptimo respecto a la superficie el radio de la base tiene que ser la mitad de la altura para un volumen determinado V_c (frmula 24) y superficie S_c (frmula 26).

Para el mismo volumen se puede proyectar cualquier prisma ptimo respecto a la superficie; escojamos el de base hexagonal:

1.117692795479815;

luego

finalmente tenemos que

De etas forma se ha dimensionado un prisma de base hexagonal ptimo respecto a la superficie.

El mismo procedimiento se puede realizar con respecto a la tabla 3, para dimensionar una pirmide con base de n nmero de lados.

Segn (Sanmartn et all., 2017), el tema ambiental ha ocupado un lugar importante en todos los aspectos cientficos que impulsan decisiones en todo el mundo, a travs de organizaciones que intentan mitigar el problema, sin embargo, el problema aumenta en la acumulacin de residuos en las zonas urbanas.

Una opcin para mitigar el impacto es obviamente el reciclaje, sin embargo, algo complementario debe ser obligatoriamente el optimizar el uso de los materiales mediante la optimizacin de la superficie tomando en consideracin la forma de envases y embalajes durante el diseo con las materias primas, lo que implica una reduccin de la contaminacin, proceso que debe repetirse luego de obtener materias primas producto del reciclaje.

Para optimizar, manifiesta Velzquez (2013), existen dos mtodos: el gradiente mediante la representacin de funciones continuas se las que se utiliza el clculo de mximos y mnimos; luego el heurstico. Los primeros implican que los problemas a resolver estn representados por funciones continuas de las que es necesario calcular sus derivadas para obtener sus mximos y mnimos. Por otra parte, los mtodos heursticos que utilizan iterativamente bsquedas pseudoaleatorias, controladas por reglas y hallan respuestas ptimas.

Mediante el uso de funciones continuas y derivadas se ha obtenido resultados ptimos, mediante la tabla1 se puede elegir la forma geomtrica ptima de la superficie tomando en consideracin un mismo volumen. Con la tabla 2 se puede calcular un prisma ptimo utilizando constantes de proporcionalidad y mediante tabla 3 se puede calcular una pirmide ptima utilizando constantes de proporcionalidad.

El dimensionamiento ptimo de una forma geomtrica ha sido revisado en este trabajo, es importante considerar lo que Annicchiarico (2007) indica que anteriormente, muchos de los de diseos eran por experiencia e intuicin, en vez de utilizar alguna teora de optimizacin. Actualmente esta forma de pensar ha cambiado respecto de la optimizacin estructural. Sin embargo, este trabajo se enfoca a la optimizacin de la superficie respecto al volumen que implicara disear elementos de paredes delgadas.

 

Conclusiones

Para un volumen determinado, las diferentes formas geomtricas no tienen la misma medida de superficie.

Optimizar la superficie en funcin del volumen permite que se pueda construir elementos con una mnima utilizacin de materiales reduciendo el impacto ecolgico.

Se debe considerar que la optimizacin al momento de disear en el campo de la ingeniera permite tomar menos elementos o recursos del ambiente y devolverlos de la misma forma en menor cantidad en forma de contaminantes, es decir habr que reciclar menos.

Una prueba de que no se optimiza en el diseo de envases y embalajes es tener como oferta de cajas de cereales de forma de un prisma de base rectangular y alturas no optimas tomando en consideracin el volumen y la medida de la superficie y tambin es evidente en el diseo de edificios.

Referencias

1.               Annicchiarico, W. (2007). Una metodologa para la optimizacin estructural de formas usando principios de evolucin flexible distribuida. Boletn Tcnico, 45(1), 35-52. http://ve.scielo.org/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0376-723X2007000100002&lng=es&tlng=es.

2.               Falcn, R. (2012). Modelado paramtrico de edificios en el aula de matemticas. Edmetic, 1(2), 7-28. doi: http://dx.doi.org/10.21071/edmetic.v1i2.2849

3.               Filippone, J., Candela, N., Lpez, A., y Orihuela, R. (2017). Diseo Ecoeficiente de Envases y Embalajes No Reutilizables. Informacin Tecnolgica, 16(3). https://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0718-07642005000300008&lng=es&nrm=iso&tlng=es

4.               Hoz de la, E., Trujillo, O., y Tun, M. (2017). La Geometra en la Arquitectura de la vivienda tradicional Arhuaca. Revista Latinoamericana de Etnomatemtica, 10(1). Recuperado de https://www.redalyc.org/jatsRepo/2740/274048277008/html/index.html

5.               Mndez, A. (2008). Arquitectura y Matemticas segn Jaume Serrallonga. Arquitectura y urbanismo, XXIX (2-3), 84-87. Recuperado de https://www.redalyc.org/pdf/3768/376839855015.pdf

6.               Oliva, J. (2007). Ulrich Mther (1934-2007). El maestro constructor de la provincia de Rgen. Anales del Instituto de Investigaciones Estticas, XXIX (90),273-284. Recuperado de https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=369/36909013

7.               Raynaud, D. (2008). Arquitectura, esquema, significado, 24(40), 483-496. https://www.scielo.br/pdf/vh/v24n40/09.pdf

8.               Donoso Llanos, M. L. (2019). Arquitectura, funcin simblica y lenguaje. Universidad y Sociedad, 11(4), 409-413. http://rus.ucf.edu.cu/index.php/rus

9.               Roe, J. (2012). Antoni Gaud. ProQuest Ebook Central https://ebookcentral.proquest.com

10.           Senz de Cabezn, E. (4 de diciembre del 2015). Matemticas y diseo: Ejemplos en la arquitectura actual [Archivo de vdeo]. https://www.youtube.com/watch?v=xozHKS4jm4A

11.           Sanmartn, G., Zhigue Luna, R., y Alaa, T. (2017). El reciclaje: un nicho de innovacin y emprendimiento con enfoque ambientalista. Universidad y Sociedad [seriada en lnea], 9 (1), pp. 36-40. http://rus.ucf.edu.cu/

12.           Velzquez-Villegas, F., & Santilln-Gutirrez, S.D. (2013). Optimizacin de forma de un cuerpo suspendido basada en reglas evolutivas y modelado paramtrico: la forma de un fruto. Ingeniera, investigacin y tecnologa, 14(1), 23-35. http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1405-77432013000100003&lng=es&tlng=es.

 

 

2020 por los autores. Este artculo es de acceso abierto y distribuido segn los trminos y condiciones de la licencia Creative Commons Atribucin-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA 4.0) (https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/).

Métricas del Artículos

Cargando Métricas.....

Metrics powered by MI WEB PRO

Enlaces de Referencia

  • Por el momento, no existen enlaces de referencia


Copyright (c) 2021 Fredy Rodrigo Barahona-Avecilla, Olga Beatriz Barrera-Cárdenas, Celin Abad Padilla-Padilla, Luis Fernando Buenaño-Moyano

URL de la Licencia: https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.es

Polo de Capacitación, Investigación y Publicación (POCAIP)

Dirección: Ciudadela El Palmar, II Etapa,  Manta - Manabí - Ecuador.

Código Postal: 130801

Teléfonos: 056051775/0991871420

Email: [email protected]

URL: https://www.dominiodelasciencias.com/

DOI: https://doi.org/10.23857/pocaip